<p>雖然計(jì)數(shù)是孩子們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的第一個(gè)技能，但它也是該學(xué)科最高水平的研究?jī)?nèi)容，盡管是以一種更令人興奮的方式。數(shù)學(xué)新教授Tony Yue Yu的研究涉及幾何空間中的曲線(xiàn)計(jì)數(shù)，這將他的工作置于枚舉幾何領(lǐng)域。枚舉幾何最早的例子之一是阿波羅尼烏斯問(wèn)題，以古希臘數(shù)學(xué)家的名字命名。在這個(gè)問(wèn)題中，計(jì)算平面上與三個(gè)給定圓相切的圓的數(shù)量(圖中黑色部分)。一般有八個(gè)這樣的切線(xiàn)圓;一個(gè)是粉色。</p> <p>&nbsp;</p> <p><img src="https://caltech-prod.s3.amazonaws.com/main/images/Problem_of_Apollonius.max-250x250.png" alt="The Problem of Apollonius -- diagram showing tangent circles" width="215" height="250" />&nbsp;</p> <p>這樣的問(wèn)題不僅在直覺(jué)上很吸引人，而且在實(shí)際中也很重要，因?yàn)橛?jì)算具有一定約束條件的幾何物體的數(shù)量與計(jì)算方程組解的數(shù)量是同一類(lèi)型的問(wèn)題。</p> <p>&nbsp;</p> <p>Yu正在通過(guò)所謂的非阿基米德幾何發(fā)展一種新的曲線(xiàn)計(jì)數(shù)理論。通常，當(dāng)你取1和100這兩個(gè)數(shù)字，其中一個(gè)數(shù)字小于另一個(gè)數(shù)字時(shí)，你可以不斷地將較小的數(shù)字與自身相加，最終超過(guò)較大的數(shù)字(100)。這個(gè)概念源于古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的研究。</p> <p>&nbsp;</p> <p>然而，在非阿基米德幾何中，你可以不斷地將較小的數(shù)相加，但你永遠(yuǎn)不會(huì)超過(guò)較大的數(shù)。Yu解釋說(shuō)，這些&ldquo;奇異的、非直觀(guān)的&rdquo;數(shù)字是他工作的核心。</p> <p>&nbsp;</p> <p>于，在中國(guó)寧波長(zhǎng)大，2010年在北京大學(xué)完成數(shù)學(xué)本科學(xué)業(yè)，之后在巴黎師范學(xué)院sup&eacute;rieure完成研究生學(xué)業(yè)。他曾是法國(guó)國(guó)家科學(xué)研究中心的永久研究員，直到2021年加入加州理工學(xué)院。</p> <p>&nbsp;</p> <p>我們通過(guò)Zoom采訪(fǎng)了Yu，了解更多關(guān)于他的研究，以及它與物理學(xué)家所熟悉的鏡像對(duì)稱(chēng)概念之間的關(guān)系。</p> <p>&nbsp;</p> <p>你什么時(shí)候開(kāi)始對(duì)數(shù)學(xué)感興趣的?</p> <p><br />我從小就對(duì)數(shù)學(xué)和科學(xué)著迷。在寧波長(zhǎng)大，那里有很多為孩子們舉辦的科學(xué)活動(dòng)和競(jìng)賽，我都很喜歡。我去了北京大學(xué)，主修數(shù)學(xué)，因?yàn)樵诟咧袝r(shí)，我能夠閱讀大學(xué)教科書(shū)上的許多其他科學(xué)科目，但從數(shù)學(xué)教科書(shū)上看不太懂。我對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)非常好奇。</p> <p>&nbsp;</p> <p>然后我去了巴黎的Ecole normale sup&eacute;rieure讀研究生。巴黎是現(xiàn)代代數(shù)幾何的誕生地，由亞歷山大&middot;格羅騰迪克在20世紀(jì)60年代創(chuàng)立。人們喜歡說(shuō)巴黎是時(shí)尚界的中心，但它也是許多領(lǐng)域的數(shù)學(xué)研究中心。一到巴黎，周?chē)际菙?shù)學(xué)家，我自然就想從事數(shù)學(xué)研究。</p> <p>&nbsp;</p> <p>你能告訴我們更多關(guān)于非阿基米德幾何的知識(shí)嗎?</p> <p><br />阿基米德性質(zhì)表明，給定任意兩個(gè)正數(shù)A &lt; B，如果我們將A與自身相加足夠多次，A+?+A最終會(huì)超過(guò)B。</p> <p>&nbsp;</p> <p><img src="https://caltech-prod.s3.amazonaws.com/main/images/Archemedian_Property.max-500x500.png" alt="Illustration of the Archimedean property" width="313" height="230" />&nbsp;</p> <p>你會(huì)說(shuō)這是顯而易見(jiàn)的，因?yàn)檫@就是長(zhǎng)度在我們?nèi)粘Ｉ钪械谋憩F(xiàn)。然而，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，人們對(duì)研究阿基米德性質(zhì)失效的量和幾何空間有極大的興趣。我們稱(chēng)它們?yōu)榉前⒒椎聰?shù)和非阿基米德空間。在這個(gè)領(lǐng)域中，數(shù)字不落在數(shù)軸上，也不代表任何距離的概念。他們是外來(lái)的，不符合我們的直覺(jué)。</p> <p>&nbsp;</p> <p>非阿基米德幾何是代數(shù)幾何的一個(gè)分支，我們研究在非阿基米德數(shù)上定義的幾何形狀。由于我們不是生活在一個(gè)非阿基米德世界，研究非阿基米德空間是困難的，許多研究數(shù)學(xué)家認(rèn)為這是一個(gè)困難和抽象的領(lǐng)域。</p> <p>&nbsp;</p> <p>我在巴黎讀研究生時(shí)就對(duì)這個(gè)領(lǐng)域產(chǎn)生了興趣。一天，我問(wèn)我的導(dǎo)師什么是非阿基米德空間。他回答說(shuō)，這是一個(gè)非常&ldquo;毛茸茸&rdquo;的空間。我曾經(jīng)認(rèn)為數(shù)學(xué)對(duì)象是嚴(yán)肅而莊嚴(yán)的，我無(wú)法相信一個(gè)幾何空間可以像動(dòng)物一樣毛茸茸的!后來(lái)我對(duì)這個(gè)課題非常著迷。</p> <p>&nbsp;</p> <p>你能告訴我們更多關(guān)于枚舉幾何的知識(shí)嗎?</p> <p><br />枚舉幾何是關(guān)于幾何物體的計(jì)數(shù)，例如阿波羅尼烏斯的問(wèn)題，其中一個(gè)人在一個(gè)平面上數(shù)圓。雖然計(jì)算和計(jì)算精確的數(shù)字很有趣也很重要，但這個(gè)領(lǐng)域的興奮點(diǎn)在于發(fā)現(xiàn)這些數(shù)字背后更深層次的結(jié)構(gòu)關(guān)系。最神秘的關(guān)系之一是所謂的鏡像對(duì)稱(chēng)，這是一種形狀的對(duì)偶性，最初是由研究弦理論的理論物理學(xué)家發(fā)現(xiàn)的，弦理論是一種旨在描述自然界基本粒子和力的數(shù)學(xué)理論。</p> <p>&nbsp;</p> <p>不管弦理論能否被實(shí)驗(yàn)證明，它對(duì)數(shù)學(xué)研究產(chǎn)生了巨大的影響。在鏡像對(duì)稱(chēng)中，一個(gè)空間中曲線(xiàn)的數(shù)量可以與鏡像空間上微分方程的解有關(guān)。這一現(xiàn)象的全面程度，以及其潛在的數(shù)學(xué)機(jī)制，在很大程度上仍然未知。</p> <p>&nbsp;</p> <p>你在研究什么問(wèn)題?</p> <p><br />我使用非阿基米德方法開(kāi)始了枚舉幾何的研究，特別是以解決鏡像對(duì)稱(chēng)領(lǐng)域的猜想為目標(biāo)。事實(shí)上，非阿基米德空間通過(guò)空間退化的過(guò)程自然地出現(xiàn)在鏡像對(duì)稱(chēng)的研究中。人們可以把退化想象成把一個(gè)復(fù)雜的大空間撞成更小、更簡(jiǎn)單的碎片。退化的參數(shù)變成一個(gè)非阿基米德數(shù)，退化過(guò)程產(chǎn)生一個(gè)非阿基米德空間。然而，大多數(shù)研究人員并不熱衷于將非阿基米德方法應(yīng)用于曲線(xiàn)計(jì)數(shù)問(wèn)題，因?yàn)榉前⒒椎聨缀伪徽J(rèn)為是陌生的和困難的。在過(guò)去的幾年里，我的研究一直在探索這個(gè)方向，結(jié)果證明這是一次有益的經(jīng)歷。</p> <p>&nbsp;</p> <p><img src="https://caltech-prod.s3.amazonaws.com/main/images/Non-Archemidian_Curves_in_Mirro_Symmetry.max-250x250.jpg" alt="Diagram showing non-Archimedean curves in mirror symmetry" width="250" height="214" />&nbsp;</p> <p>我的目標(biāo)是進(jìn)一步發(fā)展這種非阿基米德方法，并希望對(duì)鏡像對(duì)稱(chēng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)做出新的貢獻(xiàn)。將這項(xiàng)工作與其他研究人員所研究的方法進(jìn)行比較也很重要。雖然鏡像對(duì)稱(chēng)徹底改變了枚舉幾何領(lǐng)域，我也期待著探索鏡像對(duì)稱(chēng)在代數(shù)幾何更廣泛領(lǐng)域的應(yīng)用，如模理論和雙幾何。兩者都涉及空間的分類(lèi)，分類(lèi)一直是數(shù)學(xué)不同領(lǐng)域的中心主題。</p> <p>&nbsp;</p> <p>你還有什么要補(bǔ)充的嗎?</p> <p><br />數(shù)學(xué)除了是科學(xué)技術(shù)不可或缺的工具外，也是一門(mén)藝術(shù)。有時(shí)你聽(tīng)到一段音樂(lè)，你喜歡它。數(shù)學(xué)有很多驚喜，但需要多年的訓(xùn)練才能完全理解。</p> <p>&nbsp;</p> <blockquote> <p>注：本文由院校官方新聞直譯，僅供參考，不代表指南者留學(xué)態(tài)度觀(guān)點(diǎn)。</p> </blockquote>